La edad media a la muerte ajustada

El vínculo entre la edad media a la muerte y la esperanza de vida por medio de las tasas de crecimiento puede observarse mediante la revisión de sus expresiones matemáticas. Las siguientes representan la esperanza de vida:

Donde: l(x) representa a los sobrevivientes a la edad x de la tabla de vida; µ(a) es la fuerza de mortalidad a edad a; d(a) es la distribución de las muertes en la tabla de vida; Tx son los años de vida vividos más allá de la edad x.

Como puede observarse en las igualdades anteriores, la esperanza de vida puede ser expresada en términos de la distribución de las muertes de la tabla, relación que servirá para identificar el vínculo con el indicador de la edad media a la muerte en una población estable:

La principal diferencia entre la expresión de la esperanza de vida y la edad media a la muerte es la de los ponderadores e^-ra. Es intuitivo sugerir que la esperanza de vida puede ser aproximada de acuerdo a ciertas tasas de crecimiento plausibles. No obstante, ambas equivalencias dependen de la distribución de muertes de la tabla de vida, ergo, aún dependen de las tasas de muerte. De ahí que el desafío sea identificar una relación entre las muertes observadas y las defunciones derivadas de la tabla de vida.

La siguiente expresión, tomada de relaciones demográficas en poblaciones no estables, vincula la población al momento t con los nacimientos, las tasas de crecimiento por edad y las probabilidades de sobrevivencia al momento t.

N(x,t) representa la población a edad x en el tiempo; t, B(t) son los nacimientos en el tiempo; t, r(a,t) son las tasas de crecimiento de la población a la edad a en el tiempo t, p(x,t) son las probabilidades de sobrevivencia a la edad x en el tiempo t. Ahora bien, si se considera que esta relación no cambia en el tiempo, la población a la edad x puede ser formulada como sigue:

Al multiplicar ambos lados de la ecuación por µ(x) tenemos que:

Esta última ecuación representa la relación entre las muertes observadas D(x) y las muertes derivadas de la tabla de vida d(x), la cual puede ser substituida en la expresión de la esperanza de vida como sigue:

Finalmente, la edad media a la muerte ajustada (ã_x ) depende únicamente de las muertes observadas y las tasas de crecimiento por edad. Desarrollando:

Si x=0, entonces: